Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（Ⅰ）求證：{lga_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)T_n是數(shù)列{

3

(lgan)(lgan+1)

}的前n項(xiàng)和，求T_n；
（Ⅲ）求使T_n＞

1

4

（m²-5m）對(duì)所有的n∈N^*恒成立的整數(shù)m的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明{lga_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求出{

3

(lgan)(lgan+1)

}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可求T_n；
（Ⅲ）直接解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（I）∵a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₂=9a₁+10=100，
故

a2

a1

=10，
當(dāng)n≥1時(shí)，a_n+1=9S_n+10  ①，
a_n+2=9S_n+1+10  ②，
兩式相減得a_n+2-a_n+1=9a_n+1，
即a_n+2=10a_n+1，
即

an+2

an+1

=10，
即{a_n}是首項(xiàng)a₁=10，公比q=10的等比數(shù)列，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=10•10n-1=10n；
則lga_n=lg10ⁿ=n，
則lga_n-lga_n-1=n-（n-1）=1，為常數(shù)，
即{lga_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）∵lga_n=n，則

3

(lgan)(lgan+1)

=

3

n(n+1)

=3（

1

n

-

1

n+1

），
則T_n=3（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=3（1-

1

n+1

）=3-

3

n+1

，
（Ⅲ）∵T_n=3-

3

n+1

≥T₁=

3

2

，
∴要使T_n＞

1

4

（m²-5m）對(duì)所有的n∈N^*恒成立，
則

3

2

＞

1

4

（m²-5m）對(duì)所有的n∈N^*恒成立，
解得-1＜m＜6，
故整數(shù)m的取值集合{0，1，2，3，4，5}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的判斷，利用裂項(xiàng)法求和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．