Question

已知O為平面直角坐標(biāo)系的原點，過點M（-2，0）的直線l與圓x²+y²=1交于P，Q兩點．
（Ⅰ）若|PQ|=

3

，求直線l的方程；
（Ⅱ）若

MP

=

1

2

MQ

，求直線l與圓的交點坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）|PQ|是圓內(nèi)的弦長，再由半徑，可求弦心距；即圓心到直線l的距離d；因為直線l過點M，可設(shè)直線l的點斜式，求出斜率，寫出直線方程．
（Ⅱ）由

MP

=

1

2

MQ

，可設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)表示可得P、Q兩點的坐標(biāo)關(guān)系式①；
P、Q兩點是直線與圓的交點，其坐標(biāo)滿足圓的方程，得到關(guān)系式②；①②組成方程組，解得P、Q點的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）依題意，直線l的斜率存在，
因為直線l過點M（-2，0），可設(shè)直線l：y=k（x+2）．
因為|PQ|=

3

，圓的半徑為1，且P，Q兩點在圓x²+y²=1上，
所以，圓心O到直線l的距離d=

1-( 3 2 )2

=

1

2

．
即：d=

|2k|

k2+1

=

1

2

，
所以，k=±

15

15

，
所以直線l的方程為x-

15

y+2=0或x+

15

y+2=0．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
所以

MQ

=(x2+2，y2)，

MP

=(x1+2，y1)．
因為

MQ

=2

MP

，
所以

x2+2=2(x1+2) y2=2y1

，即

x2=2(x1+1) y2=2y1

（*）；
因為　P，Q兩點在圓上，
所以，

x12+y12=1 x22+y22=1

，把（*）代入，得

x12+y12=1 4(x1+1)2+4y12=1

，
所以，

x1=- 7 8 y1=± 15 8

，

x2= 1 4 y2=± 15 4

所以P點坐標(biāo)為(-

7

8

，

15

8

)或(-

7

8

，-

15

8

)，Q點坐標(biāo)為(

1

4

，

15

4

)或(

1

4

，-

15

4

)．

點評：本題考查了直線與圓相交時的弦長問題，向量的坐標(biāo)表示，二元二次方程組的解法等知識，計算能力要求高，是中檔題．