Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點M(1，

2

2

)，其離心率為

2

2

，經(jīng)過點(0，

2

)，斜率為k的直線l與橢圓C相交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A、B兩點，則是否存在常數(shù)k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,向量與圓錐曲線,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意，e=

c

a

=

2

2

，a²=b²+c²，并將點M代入可求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）由題意，聯(lián)立方程化簡可得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0，則△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，從而求k的取值范圍；
（Ⅲ）假設(shè)存在，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

AB

=（-

2

，1）；由向量

OP

+

OQ

與

AB

共線可得x₁+x₂=-

2

（y₁+y₂），利用韋達定理可解得k=

2

2

，結(jié)合（Ⅱ）知不存在．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，e=

c

a

=

2

2

，
又∵a²=b²+c²，
∴a²=2b²，
∴橢圓C的方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
將點M(1，

2

2

)代入，得b²=1，a²=2，
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由已知條件，直線l的方程為y=kx+

2

，
代入橢圓方程得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0①，
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于
△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，
解得，k＜-

2

2

或k＞

2

2

．
即k的取值范圍為(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)．
（Ⅲ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由方程①得，x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

②，
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

③，
而A（

2

，0），B（0，1），

AB

=（-

2

，1）；
又∵

OP

+

OQ

與

AB

共線，
∴x₁+x₂=-

2

（y₁+y₂），
將②③代入上式解得，k=

2

2

．
由（Ⅱ）知，k＜-

2

2

或k＞

2

2

，
故沒有符合題意的常數(shù)k．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，同時考查了橢圓與直線的綜合問題，常利用韋達定理簡化運算，同時考查了向量的應(yīng)用，屬于難題．