Question

【題目】已知橢圓:的上頂點(diǎn)為，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)，直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為(與不重合)，過作直線，垂足為，是否存在定點(diǎn)，使為定值？若存在求出的坐標(biāo)，不存在說明理由？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)，使為定值.

【解析】

（1）由已知得到a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程為：，設(shè),，先求出直線方程為：,再求得直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，又，取的中點(diǎn)，則，為定值.即得解.

解:（1），， ，

橢圓方程為

（2）設(shè)直線方程為：，設(shè),則

由消去得，

∴，

∴ ，,

的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率

所以直線方程為：,

即,

令，得,

=;

∵，，

所以， ==,

==

∴==

即直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，又，取的中點(diǎn)，

則，為定值.

所以存在定點(diǎn)，使為定值.