如圖，AB是⊙O的直徑，弦CA、BD的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F．求證：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BE•BD-AE•AC．

【答案】分析：（1）連接AD，利用AB為圓的直徑結(jié)合EF與AB的垂直關(guān)系，通過證明A，D，E，F(xiàn)四點共圓即可證得結(jié)論；
（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用三角形△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用線段間的關(guān)系即求得AB2=BE•BD-AE•AC．
解答：證明：（1）連接AD，因為AB為圓的直徑，
所以∠ADB=90°，（1分）
又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）
則A，D，E，F(xiàn)四點共圓（2分）
∴∠DEA=∠DFA（1分）
（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，（1分）
又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC（2分）
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB•（BF-AF）=AB2（2分）
點評：本小題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、四點共圓的證明方法、三角形相似等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理科）如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，經(jīng)平面AEFG所截后得到的圖形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
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（Ⅰ）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

（文科）如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）設(shè)FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF．
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科目：高中數(shù)學 來源：南充高中2008－2009學年高二下學期第四次月考數(shù)學試題(理) 題型：044

如圖，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點．

(1)若一個n面體中有m個面是直角三角形，則稱這個n面體的直度為．那么四面體P－ABC的直度為多少？說明理由；

(2)在四面體P－ABC中，AP＝AB＝1，設(shè)．若動點M在四面體P－ABC表面上運動，并且總保持PB⊥AM．設(shè)為動點M的軌跡圍成的封閉圖形的面積關(guān)于角的函數(shù)，求取最大值時，二面角A－PB－C的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省南充高中2008－2009學年高二下學期第四次月考數(shù)學文 題型：044

如圖，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點．

(1)若一個n面體中有m個面是直角三角形，則稱這個n面體的直度為．那么四面體P－ABC的直度為多少？說明理由；

(2)如圖，若四面體P－ABC中，AP＝AB＝1，AE⊥PB，垂足為E，AF⊥PC，垂足為F．設(shè)∠EAF＝，為△AEF面積的函數(shù)，求取最大值時二面角A－PB－C的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，ABCD是正方形，E、F分別是AD、BC邊上的點，EF∥AB，EF交AC于點O，以EF為棱把它折成直二面角A-EF-D后，求證：不論EF怎樣移動，∠AOC是定值.

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省南充高中08-09學年高二下學期第四次月考（理） 題型：解答題

 如圖甲，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點．

（1）若一個面體中有個面是直角三角形，則稱這個面體的直度為．那么四面體的直度為多少？說明理由；

（2）在四面體中，，設(shè)．若動點在四面體 表面上運動，并且總保持．設(shè)為動點的軌跡圍成的封閉圖形的面積關(guān)于角的函數(shù)，求取最大值時,二面角的正切值．

 

 

 

 

 

 

 

 

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