Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱D₁D的中點，點F在棱B₁B上且B₁F=2FB．
（1）求證：EF⊥A₁C₁；
（2）求平面AEF與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連D₁B₁，DB，D₁B₁，DB，由已知得A₁C₁⊥面DBB₁D₁，由此能證明A₁C₁⊥EF．
（2）由ED⊥面ABCD，F(xiàn)B⊥面ABCD，得△ABD是△AFE在面ABCD內(nèi)的投影圖形，由此求出AF=

10

3

，AE=

5

2

，在DE上取點G，使DG=BF=

1

3

，則EG=

1

6

，由此能求出二平面AEF與ABCD所成角余弦值．

解答： （1）證明：連D₁B₁，DB，
A₁C₁⊥D₁B₁，又BB₁⊥面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁⊥BB₁，
又BB₁∩D₁B₁=B₁，A₁C₁⊥面DBB₁D₁，
又∵EF?面DBB₁D₁，∴A₁C₁⊥EF．
（2）解：由ED⊥面ABCD，F(xiàn)B⊥面ABCD，
得△ABD是△AFE在面ABCD內(nèi)的投影圖形，
S△ABD=

1

2

×1×1=

1

2

，又AF=

1+ 1 9

=

10

3

，
AE=

1+ 1 4

=

5

2

，
在DE上取點G，使DG=BF=

1

3

，則EG=

1

6

，
∴在Rt△EGF中，EF=

2+ 1 36

=

73

6

，
∴cos∠EAF=

10 9 + 5 4 - 73 36

5 3 3

=

2

10

，∴sin∠EAF=

7 2

10

，
∴S△AEF=

1

2

AE•AF•sin∠EAF
=

1

2

×

5

2

×

10

3

×

7 2

10

=

7

12

，
設(shè)二平面AEF與ABCD所成角為θ，
則cosθ=

1

2

×

12

7

=

6

7

，
即二平面AEF與ABCD所成角余弦值為

6

7

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．