Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，側(cè)棱長為．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)A，B，A₁，C₁的坐標(biāo)；
（2）求AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所成直線為Oy軸，以AA₁所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB₁A₁垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可求出A，B，A₁，C₁的坐標(biāo)；
（2）取A₁B₁的中點(diǎn)M，易證AC₁與AM所成的角就是AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角，求出與的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求出此角即可．
解答：解：①如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所成直線為Oy軸，
以AA₁所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB₁A₁垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
由已知得A（0，0，0），B（0，a，0），，．
②坐標(biāo)系如上，取A₁B₁的中點(diǎn)M，于是有，
連AM，MC₁有=，
且=（0，a，0），=，
由•=0，•=0，
所以，MC₁⊥面ABB₁A₁，
∴AC₁與AM所成的角就是AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角．
∵=，=，
∴•=，==，=，
∴=，
所以，與所成的角，即AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角為30°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．