Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直線PC與平面ABM所成角的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面ABM的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）要證平面ABM⊥平面PCD，只需證明平面PCD內(nèi)的直線PD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線BM、AB即可；
（Ⅱ）平面ABM與PC交于點(diǎn)N，說明∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，然后解三角形，求直線PC與平面ABM所成的角；
（Ⅲ）因?yàn)镃D∥平面ABM，所以C點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離，求出DM即可．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA=AD=4，點(diǎn)M為PD中點(diǎn)，∴AM⊥PD
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，則AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD
（Ⅱ）解：設(shè)平面ABM與PC交于點(diǎn)N，
因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥平面PCD，則AB∥MN∥CD，
由（Ⅰ）知，PD⊥平面ABM，則MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，且∠PNM=∠PCD，
所以tan∠PNM=tan∠PCD=2

2

，
所以cos∠PNM=

1

3

；
（Ⅲ）解：因?yàn)镃D∥平面ABM，所以C點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離，
由（Ⅰ）知，PD⊥平面ABM于M，則DM就是D點(diǎn)到平面ABM的距離，
因?yàn)樵赗t△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，
所以M為PD的中點(diǎn)，DM=2

2

，
則C點(diǎn)到平面ABM的距離等于2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)點(diǎn)；注意線線平行，線面平行，面面平行的轉(zhuǎn)化，同樣注意線線垂直，線面垂直的轉(zhuǎn)化；找平行時(shí)運(yùn)用了平行四邊形，中位線，找垂直時(shí)運(yùn)用了矩形，三角形的高線，線面垂直的定義性質(zhì)等．