Question

將數(shù)列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉a₁₀…記表中的第一列數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…構成的數(shù)列為{b_n}，b₁=a₁=1．S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，且滿足

2bn

bnSn- S 2 n

=1(n≥2)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{

1

Sn

}成等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當a81=-

4

91

時，求上表中第k（k≥3）行所有項的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意所給的已知等式特點應考慮應用已知數(shù)列的前n項和求其通項這一公式來尋求出路，得到Sn與SS_n-1之間的遞推關系，先求出S_n的通項公式即可得證，接下來求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由題意第一列數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…構成的數(shù)列為{b_n}，b₁=a₁=1，又已知{b_n}的通項公式和a₈₁的值，應該現(xiàn)有規(guī)律判斷這一向位于圖示中的具體位置，有從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)進而求解．

解答：解：（Ⅰ）證明：由已知，當n≥2時，

2bn

bnSn- S 2 n

=1，又S_n=b₁+b₂+…+b_n，
所以

2(Sn-Sn-1)

(Sn-Sn-1)Sn- S 2 n

=1?

2(Sn-Sn-1)

-Sn-1Sn

=1?

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
又S₁=b₁=a₁=1．所以數(shù)列{

1

Sn

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列．
由上可知

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，?Sn=

2

n+1

．
所以當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

．
因此bn=

1，n=1 - 2 n(n+1) ，n≥2

（Ⅱ）設上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q＞0．
因為1+2+…+12=

12×13

2

=78，
所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列{a_n}的前78項，故a₈₁在表中第13行第三列，
因此a81=b13•q2=-

4

91

．又b13=-

2

13×14

，所以q=2．
記表中第k（k≥3）行所有項的和為S，
則S=

bk(1-qk)

1-q

=-

2

k(k+1)

•

(1-2k)

1-2

=

2

k(k+1)

(1-2k)(k≥3)．

點評：（1）此問重點考查了數(shù)列中的已知前n項的和求解通項這一公式，還考查了等差數(shù)的定義；
（2）此問重點考查了由題意及圖形準確找規(guī)律，還考查了等比數(shù)列的通向公式及有數(shù)列通向求其所有項和，同時還考查了方程的思想．