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1.如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四邊形,側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,AB=1,AC=3,BC=BB1=2.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求二面角A-C1D-C的平面角的余弦值.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出AB⊥AC,AA1⊥AC,由此能證明AC⊥平面ABB1A1
(Ⅱ)過點(diǎn)C作CP⊥C1D于P,連接AP,則AC⊥平面DCC1D1,從而∠CPA是二面角A-C1D-C的平面角,由此能求出二面角A-C1D-C的平面角的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)∵在底面ABCD中,AB=1,AC=3,BC=2,
∴AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,
∵側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,∴AA1⊥AC,
又∵AA1∩AB=A,AA1,AB?平面ABB1A1,
∴AC⊥平面ABB1A1
解:(Ⅱ)過點(diǎn)C作CP⊥C1D于P,連接AP,
由(Ⅰ)可知,AC⊥平面DCC1D1,
∠CPA是二面角A-C1D-C的平面角,
∵CC1=BB1=2,CD=AB=1,∴CP=DC×CC1DC1=1×21+4=255,
∴tanCPA=ACCP=152,∴cosCPA=21919,
∴二面角A-C1D-C的平面角的余弦值為21919

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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10.私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一,因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活,少開私家車,盡量選擇綠色出行方式,為預(yù)防霧霾出一份力.為此,很多城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車尾號(hào)限行,我市某報(bào)社為了解市區(qū)公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度,隨機(jī)抽查了50人,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成如表:
年齡(歲)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]
頻數(shù)510151055
贊成人數(shù)469634
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(Ⅱ)若從年齡在[55,65),的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的2人中贊成“車輛限行”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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