已知拋物線及點，直線的斜率為1且不過點P，與拋物線交于A,B兩點。

（1） 求直線在軸上截距的取值范圍；

（2） 若AP,BP分別與拋物線交于另一點C,D,證明：AD、BC交于定點。

 

【答案】

（1）；（2）設A,B兩點的坐標分別為，直線AD的方程為，當時，

即直線AD與軸的交點為，同理可得BC與軸的交點也為

所以AD、BC交于定點  .

【解析】

試題分析：（1） 設直線的方程為，由于直線不過點P，因此

由 得

由 解得

所以直線在軸上截距的取值范圍是。           

（2） 證明：設A,B兩點的坐標分別為

因為AB的斜率為1，所以

設點D坐標為,因為B,P,D共線，所以

得

直線AD的方程為

當時，

即直線AD與軸的交點為

同理可得BC與軸的交點也為

所以AD、BC交于定點  .

考點：直線與拋物線的綜合應用；拋物線的簡單性質；斜率公式；直線方程的點斜式。

點評：直線與圓錐曲線綜合應用的有關問題，其特點是計算量特別大，且較為復雜。因此，我們在計算的時候一定要仔細、認真，要做到會的得滿分，不會的盡量多得步驟分。

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（08年廣東佛山質檢理）已知拋物線及點，直線斜率為且不過點，與拋物線交于點、兩點.

（Ⅰ）求直線在軸上截距的取值范圍；

（Ⅱ）若、分別與拋物線交于另一點、，證明：、交于定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線經(jīng)過點A(2,1)，過A作傾斜角互補的兩條不同直線.

（Ⅰ）求拋物線的方程及準線方程；

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已知拋物線及點,直線斜率為1且不過點,與拋物線交于點A,B,

(1) 求直線在軸上截距的取值范圍；

(2) 若AP,BP分別與拋物線交于另一點C、D，證明:AD,BC交于定點.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年廣東省高三上學期期中考試理科數(shù)學卷 題型：解答題

（本題滿分14分）

已知拋物線及點，直線斜率為且不過點，與拋物線交于點、兩點.

（Ⅰ）求直線在軸上截距的取值范圍；

（Ⅱ）若、分別與拋物線交于另一點、，證明：、交于定點.

 

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