Question

已知拋物線及點(diǎn)，直線的斜率為1且不過(guò)點(diǎn)P，與拋物線交于A,B兩點(diǎn)。

（1） 求直線在軸上截距的取值范圍；

（2） 若AP,BP分別與拋物線交于另一點(diǎn)C,D,證明：AD、BC交于定點(diǎn)。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線AD的方程為，當(dāng)時(shí)，

即直線AD與軸的交點(diǎn)為，同理可得BC與軸的交點(diǎn)也為

所以AD、BC交于定點(diǎn)  .

【解析】

試題分析：（1） 設(shè)直線的方程為，由于直線不過(guò)點(diǎn)P，因此

由 得

由 解得

所以直線在軸上截距的取值范圍是。           

（2） 證明：設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

因?yàn)锳B的斜率為1，所以

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為,因?yàn)锽,P,D共線，所以

得

直線AD的方程為

當(dāng)時(shí)，

即直線AD與軸的交點(diǎn)為

同理可得BC與軸的交點(diǎn)也為

所以AD、BC交于定點(diǎn)  .

考點(diǎn)：直線與拋物線的綜合應(yīng)用；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；斜率公式；直線方程的點(diǎn)斜式。

點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用的有關(guān)問(wèn)題，其特點(diǎn)是計(jì)算量特別大，且較為復(fù)雜。因此，我們?cè)谟?jì)算的時(shí)候一定要仔細(xì)、認(rèn)真，要做到會(huì)的得滿分，不會(huì)的盡量多得步驟分。