Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動．
（Ⅰ）證明：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）當(dāng)E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求D₁E與平面AD₁C所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）以D為原點，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明D₁E⊥A₁D．
（Ⅱ）求出平面ACD₁的法向量，利用向量法能求出點E到平面ACD₁的距離．
（Ⅲ）由

D1E

=（1，1，-1），平面ACD₁的法向量

n

=（2，1，2），利用向量法能求出D₁E與平面AD₁C所成角的正弦值．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：以D為坐標(biāo)原點，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，
則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0），
∵

DA1

•

D1E

=0，∴D₁E⊥A₁D．…（4分）
（Ⅱ）解：∵E為AB的中點，則E（1，1，0），
∴

D1E

=（1，1，-1），

AC

=（-1，2，0），

AD1

=（-1，0，1），
設(shè)平面ACD₁的法向量為

n

=（a，b，c），則

n • AC =-a+2b=0 n • AD1 =-a+c=0

，
取a=2，得

n

=（2，1，2），…（7分）
∴點E到平面ACD₁的距離為h=

| D1E • n |

| n |

=

2+1-2

3

=

1

3

．…（9分）
（Ⅲ）解：設(shè)D₁E與平面AD₁C所成角為θ，
∵

D1E

=（1，1，-1），平面ACD₁的法向量

n

=（2，1，2），
∴sinθ=cos＜

n

，

D1E

＞=

2+1-2

3 × 9

=

3

9

，
D₁E與平面AD₁C所成角的正弦值為

3

9

．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．