【答案】
分析:(1)要求三角形OAB面積的最小值,先表示出面積
(d為O到直線AB的距離),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求可求
(2)要證明拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行,只要證明切線的斜率與直線AB得斜率相等
(法一):把y=kx+2代入y=2x
2得2x
2-kx-2=0,由韋達(dá)定理可求N點(diǎn)的坐標(biāo)為
.可設(shè)在點(diǎn)N處的切線l的方程為y-
,將y=2x
2代入整理,由直線l與拋物線C相切,可得△=0
(法二):把y=kx+2代入y=2x
2得2x
2-kx-2=0.由韋達(dá)定理可求N點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)可求拋物線在點(diǎn)N處的切線l的斜率
(3)(法一)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使
=0,則NA⊥NB,結(jié)合已知M是AB的中點(diǎn),可得|MN|=
|AB|,結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式代入可求k
(法二)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使
=0結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入可求k
解答:解:(1)設(shè)A(x
1,y
1)B(x
2,y
2),O到直線AB的距離為d=
聯(lián)立方程
整理可得2x
2-kx-2=0
則
∴AB=
=
=
=
面積S的最小值為2
解法一:(2)如圖,設(shè)A(x
1,2x
12),B(x
2,2x
22),
把y=kx+2代入y=2x
2得2x
2-kx-2=0,
由韋達(dá)定理得x
1+x
2=
,x
1x
2=-1,x
N=x
M=
,
N點(diǎn)的坐標(biāo)為
.
設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y-
,
將y=2x
2代入上式得2x
2-mx+
=0,
直線l與拋物線C相切,∴
=0,
∴m=k.即l∥AB.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使
=0,則NA⊥NB,又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),∴|MN|=
|AB|.
由(Ⅰ)知y
M=
=
+2
∵M(jìn)N⊥軸,∴|MN|=|y
M-y
N|=
.
又|AB|=
=
.
∴
,解得k=±2.
即存在k=±2,使
=0.
解法二:(1)如圖,設(shè)A(x
1,2x
12),B(x
2,2x
22),
把y=kx+2代入y=2x
2得2x
2-kx-2=0.
由韋達(dá)定理得x
1+x
2=
=-1.x
N=x
M=
,
N點(diǎn)的坐標(biāo)為
.∵y=2x
2,∴y'=4x,
拋物線在點(diǎn)N處的切線l的斜率為4×
=k,∴l(xiāng)∥AB.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使
=0.
由(1)知
,則
=
=
=
=
=
=0,
∵-1-
<0,∴-3+
=0,解得k=±2.
即存在k=±2,使
=0.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,直線與曲線聯(lián)立,根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系,這是處理這類問(wèn)題的最為長(zhǎng)用的方法,但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大,要求考試具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力