Question

5．已知一個正倒立的圓錐容器中裝有一定的水，現(xiàn)放入一個小球后，水面恰好淹過小球（水面與小球相切），且圓錐的軸截面是等邊三角形，則容器中水的體積與小球的體積之比為5：4．

Answer 1

分析 由題意求出球的體積，求出圓錐的體積，設(shè)出水的高度，求出水的圓錐的體積，利用V_水+V_球=V_容器，求出圓錐內(nèi)水平面高．即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖．在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為r的鐵球，這時水面記為AB，
將球從圓錐內(nèi)取出后，這時水面記為EF．
三角形PAB為軸截面，是正三角形，
三角形PEF也是正三角形，圓O是正三角形PAB的內(nèi)切圓．
由題意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=$\sqrt{3}$r
∴V_球=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$，V_PC=$\frac{1}{3}π•3{r}^{2}•3r$=3πr³
又設(shè)HP=h，則EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$h
∴V_水=$\frac{1}{3}π•\frac{1}{3}{h}^{2}•h$=$\frac{π}{9}{h}^{3}$
∵V_水+V_球=V_PC
即 $\frac{π}{9}{h}^{3}$+$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=3πr³，
∴h³=15r³，
容器中水的體積與小球的體積之比為$\frac{π}{9}{h}^{3}$：$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=5：4．
故答案為5：4．

點評 本小題主要考查球的體積和表面積、旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．