證明:充分性:如果xy=0,那么①x=0,y≠0;②y=0,x≠0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.
如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0.
當(dāng)x>0,y>0時(shí),|x+y|=x+y=?|x|+|y|?;
當(dāng)x<0,y<0時(shí),|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.總之,當(dāng)xy≥0時(shí),有|x+y|=|x|+|y|.
必要性:解法一:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,∴xy≥0.
解法二:|x+y|=|x|+|y|(x+y)2=(|x|+|y|)2
x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy|
xy=|xy|
xy≥0.
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