Question

已知：曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等．
（1）求曲線C的方程；
（2）如果直線y=k（x-1）交曲線C于A、B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，可知曲線C的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，從而可求曲線C的方程；
（2）將y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，利用韋達(dá)定理，可得x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，從而可知以AB為直徑的圓不經(jīng)過原點(diǎn)O．
解答：解：（1）∵曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等．
∴曲線C的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線
∴曲線C的方程為y²=4x；…（4分）
（2）將y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0…（8分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁x₂=1，x₁+x₂=，…（10分）
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=-4 …（12分）
∴x₁x₂+y₁y₂=-3≠0
∴
∴以AB為直徑的圓不經(jīng)過原點(diǎn)O，
∴不存在滿足條件的k．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義，正確運(yùn)用韋達(dá)定理．