Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱SD=2，SA=2

2

，∠SDC=120°．
（1）求證：側(cè)面SDC⊥底面ABCD；
（2）求側(cè)棱SB與底面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由SD=2，SA=2

2

，得AD⊥SD，又AD⊥CD，由線面垂直的判定得AD⊥側(cè)面SDC，進(jìn)而由面面垂直的判定得側(cè)面SDC⊥底面ABCD；
（2）過(guò)點(diǎn)S作直線CD的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由（1）知SE⊥底面ABCD，從而∠SBE是側(cè)棱SB與底面ABCD所成角．

解答：（1）證明：∵SD=2，SA=2

2

，
∴AD⊥SD，又AD⊥CD，CD?側(cè)面SDC，SD?側(cè)面SDC，
且SD∩CD=D，
∴AD⊥側(cè)面SDC．
又AD?底面ABCD，故側(cè)面SDC⊥底面ABCD．（7分）
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)S作直線CD的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
由（1）可知SE⊥底面ABCD，則∠SBE是側(cè)棱SB與底面ABCD所成角．
∵∠SDC=120°，
∴∠SDE=60°，又SD=2，
故SE=

3

，DE=1，
則BE=

32+22

=

13

，
故SB=4．
則sin∠SBE=

SE

BE

=

3

4

，
故側(cè)棱SB與底面ABCD所成角的正弦值為

3

4

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直與面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化以及線面角的求法．