Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+ax-4（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值；
（2）若對(duì)任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，求x的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=（a+1）x²+2ax+2a-5，是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)，函數(shù)g（x）的圖象始終在f（x）圖象的上方，若存在，試求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=ax²+ax-4僅有一個(gè)零點(diǎn)，分函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)討論，即a=0和a≠0討論，特別a≠0時(shí)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，△=0即可求得結(jié)果．
（2）由題意得：因?yàn)槿我鈇∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，令 H（a）=ax²+ax-4=（x²+x）a-4，本題等價(jià)于：H（a）≤0在a∈[1，2]上恒成立，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即得．
（3）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，則必有F（x）=x²+ax+2a-1＞0在區(qū)間（-2，-1）上恒成立，再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出實(shí)數(shù)a，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-4無(wú)零點(diǎn)，舍去       …（1分）
當(dāng)a≠0時(shí)，有△=a²+16a=0解得 a=-16或a=0（舍去） …（3分）
綜合得：a=-16…（4分）
（2）由題意得：因?yàn)槿我鈇∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，
令 H（a）=ax²+ax-4=（x²+x）a-4
所以，本題等價(jià)于：H（a）≤0在a∈[1，2]上恒成立． …（7分）
又H（0）=-4
所以，H（2）=2（x²+x）-4≤0即  x²+x-2≤0，
解得：-2≤x≤1…（10分）
（3）令 F（x）=g（x）-f（x）=x²+ax+2a-1…（12分）
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，則必有F（x）=x²+ax+2a-1＞0在區(qū)間（-2，-1）上恒成立．
又因?yàn)镕（x）對(duì)稱軸方程  x=-

a

2

，所以有：
①

- a 2 ≤-2 F(-2)=4-2a+2a-1≥0

…（13分）
解得：

a≥4 a∈R

所以   a≥4
②

- a 2 ≥-1 F(-1)=1-a+2a-1≥0

…（14分）
解得：

a≤2 a≥0

所以   0≤a≤2
③

-2＜- a 2 ＜-1 △=a2-4(2a-1)＜0

解得：

2＜a＜4 4-2 3 ＜a＜4+2 3

所以  2＜a＜4…（15分）
綜合以上得：a≥0
所以，存在這樣的實(shí)數(shù)a，當(dāng)實(shí)數(shù)a≥0時(shí)，函數(shù)g（x）的圖象始終在f（x）圖象的上方．…（16分）
備注：解答題其它解題方法酌情給分．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，對(duì)函數(shù)的類型討論，體現(xiàn)了分類討論的思想，也是易錯(cuò)點(diǎn)，屬中檔題．