Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若存在，使得是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，解不等式，其解集和定義域求交集，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，該題中，不等式不易解出，但是可觀察到當(dāng)且時恒成立，故函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)遞增；（2）由題知只需，即
問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的值域問題，觀察得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則，最大值為中的較大者，進而得關(guān)于的不等式，再考慮不等式的解集即為實數(shù)的取值范圍.
試題解析：⑴．
，所以在上是增函數(shù)，
又，所以不等式的解集為，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
⑶因為存在，使得成立，
而當(dāng)時，，
所以只要即可．
又因為，，的變化情況如下表所示：

	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，的最小值
，的最大值為和中的最大值．
因為，
令，因為，
所以在上是增函數(shù)．
而，故當(dāng)時，，即；
所以，當(dāng)時，，即，函數(shù)在上是增函數(shù)，解得；