本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識及思維能力和空間想象能力.考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力,
方法一:
(I)證明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,
∴由三垂線定理得:CD⊥PD.
因而,CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD,PD都垂直,
∴CD⊥面PAD.
又CD
面PCD,∴面PAD⊥PCD.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/2000/23/46/63/200023466344192019622826daan.files/image002.jpg)
(II)解:過點(diǎn)B作BE∥CA,且BE=CA,則∠PBE是AC與PB所成的角.
連結(jié)AE,可知AC=CB=BE=AE=
,又AB=2,
所以四邊形ACBE為正方形.
由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°,
在Rt△PEB中BE=
,PB=
,
cos∠PBE=
=![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/2000/23/46/63/200023466344192019622826daan.files/image006.gif)
∴AC與PB所成的角為arccos
.
(III)解:作AN⊥CM,垂足為N,連結(jié)BN.
在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM,故∠ANB為所求二面角的平面角。
∵CB⊥AC,由三垂線定理,得CB⊥PC,
在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中,AN?MC=
.
∴AN=
.
∵AB=2,
∴cos∠ANB=
=![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/2000/23/46/63/200023466344192019622826daan.files/image010.gif)
故所求的二面角為arccos(
).
方法二:因?yàn)镻A⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD長為單位長度,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為
A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,
).
(I)證明:因
=(0,0,1),
=(0,1,0),故
?
=0,所以AP⊥DC.
又由題設(shè)知AD⊥DC,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,由此得DC⊥面PAD。
又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/2000/23/46/63/200023466344192019622826daan.files/image014.jpg)
(II)解:因
=(1,1,0),
=(0,2,-1),
故|
|=
,|
|=
,
?
=2,所以
cos<
?
>=
=![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/2000/23/46/63/200023466344192019622826daan.files/image006.gif)
由此得AC與PB所成的角為arccos![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/2000/23/46/63/200023466344192019622826daan.files/image006.gif)
(III)解:在MC上取一點(diǎn)N(x,y,z),則存在λ∈R,使
=λ
,
=(1-x,1-y,-z),
=(1,0,-
),
∴x=1-λ,y=1,z=
λ.
要使AN⊥MC只需
?
=0,即
x-
z=0,解得λ=
.
可知當(dāng)λ=
時,N點(diǎn)坐標(biāo)為(
,1,
),能使
?
=0.
此時,
=(
,1,
),
=(
,-1,
),有
?
=0.
由
?
=0,
?
=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB為所求二面角的平面角.
∵|
|=
,|
|=
,
?
=-
.
∴cos<
,
>=
=![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/2000/23/46/63/200023466344192019622826daan.files/image010.gif)
故所求的二面角為arccos(
).