Question

已知（m為常數(shù)，m>0且m≠1）．

 設(shè)（n∈^?）是首項(xiàng)為m²，公比為m的等比數(shù)列．

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)m＝2時(shí)，求S_n；

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2）2^n＋2·n

【解析】本題考查數(shù)列的定義的應(yīng)用，錯(cuò)位相減法，數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，恒成立問題的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，知識面廣，運(yùn)算量大．

（1）利用f （x）=m^x（m為常數(shù)，m＞0且m≠1）．代入a_n，求出a_n的表達(dá)式，利用等差數(shù)列的定義，證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；

（2）通過b_n=a_n f （a_n），且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)m=2時(shí)，求出S_n的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求出S_n；

解：（1）由題意f（a_n）＝，即．

∴a_n＝n＋1，（2分）       ∴a_n＋1－a_n＝1，

∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．

（2）由題意＝（n＋1）·mⁿ⁺¹，

當(dāng)m＝2時(shí)，b_n＝（n＋1）·2^n＋1

∴S_n＝2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋（n＋1）·2^n＋1�、�

①式兩端同乘以2，得

2S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋…＋n·2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2　②

②－①并整理，得

S_n＝－2·2²－2³－2⁴－2⁵－…－2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2

＝－2²－（2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n＋1）＋（n＋1）·2^n＋2

＝－2²－＋（n＋1）·2^n＋2

＝－2²＋2²（1－2ⁿ）＋（n＋1）·2^n＋2＝2^n＋2·n．