已知(m為常數(shù),m>0且m≠1).

 設(shè)(n∈?)是首項(xiàng)為m2,公比為m的等比數(shù)列.

(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;

(2)若,且數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)m=2時(shí),求Sn

 

【答案】

(1)見解析(2)2n+2·n

【解析】本題考查數(shù)列的定義的應(yīng)用,錯(cuò)位相減法,數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合,恒成立問題的綜合應(yīng)用,考查分析問題解決問題,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,知識面廣,運(yùn)算量大.

(1)利用f (x)=mx(m為常數(shù),m>0且m≠1).代入an,求出an的表達(dá)式,利用等差數(shù)列的定義,證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列;

(2)通過bn=an f (an),且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)m=2時(shí),求出Sn的表達(dá)式,利用錯(cuò)位相減法求出Sn;

解:(1)由題意f(an)=,即

∴an=n+1,(2分)       ∴an+1-an=1,

∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.

(2)由題意=(n+1)·mn+1

當(dāng)m=2時(shí),bn=(n+1)·2n+1

∴Sn=2·22+3·23+4·24+…+(n+1)·2n+1、

①式兩端同乘以2,得

2Sn=2·23+3·24+4·25+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2 ②

②-①并整理,得

Sn=-2·22-23-24-25-…-2n+1+(n+1)·2n+2

=-22-(22+23+24+…+2n+1)+(n+1)·2n+2

=-22+(n+1)·2n+2

=-22+22(1-2n)+(n+1)·2n+2=2n+2·n.

 

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年濰坊市質(zhì)檢)(12分) 已知(m為常數(shù),m>0且),設(shè)是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列.

   (Ⅰ)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;

   (Ⅱ)若bn=an?,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)時(shí),求Sn.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)滿足2ax·f(x)=2f(x)-1,f(1)=1,設(shè)無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f(an).(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;(2)若a1=3,從第幾項(xiàng)起,數(shù)列{an}中的項(xiàng)滿足anan+1;(3)若a1m為常數(shù)且mN+,m≠1),求最小自然數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí),總有0<an<1成立。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年福建省師大附中高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本小題15分)
已知(m為常數(shù),m>0且),設(shè)是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)若bn=an·,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn,當(dāng)時(shí),求
(3)若cn=,問是否存在m,使得{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)?若存在,
求出m的范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011---2012學(xué)年度廣東省盛興中英文學(xué)校十一月高三月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

已知(m為常數(shù),m>0且
設(shè)是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,當(dāng)時(shí),求
(3)若,問是否存在,使得中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)?
若存在,求出的范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江西省高三第一次月考試卷理科數(shù)學(xué) 題型:解答題

已知(m為常數(shù),m>0且m≠1).

      設(shè)(n∈?)是首項(xiàng)為m2,公比為m的等比數(shù)列.

    (1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;

    (2)若,且數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)m=2時(shí),求Sn;

    (3)若,問是否存在m,使得數(shù)列中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)?若存在,求出m的范圍;若不存在,請說明理由.

 

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