Question

已知函數(shù)f(x)＝log_kx(k為常數(shù)，k＞0且k≠1)，且數(shù)列{f(a_n)}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列。

（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；

（2）若b_n＝a_n·f(a_n)，當k＝時，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n。

Answer 1

（1）證明：由題意知f(a_n)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，        …………(2分)

即log_ka_n＝2n＋2，∴a_n＝k^2n＋2，                      …………(3分)

∴.                           …………(5分)

∵常數(shù)k＞0且k≠1，∴k²為非零常數(shù)，

∴數(shù)列{a_n}是以k⁴為首項，k²為公比的等比數(shù)列。      …………(6分)

（2）由（1）知，b_n＝a_nf(a_n)＝k^2n＋2·(2n＋2)，

當k＝時，b_n＝(2n＋2)·2^n＋1＝(n＋1)·2^n＋2.        …………(8分)

∴S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋…＋(n＋1)·2^n＋2，  ①

2S_n＝2·2⁴＋3·2⁵＋…＋n·2^n＋2＋(n＋1)·2 ^n＋3， ②      …………(10分)

②－①，得S_n＝―2·2³―2⁴―2⁵―…―2^n＋2＋(n＋1)·2^n＋3   

＝―2³―(2³＋2⁴＋2⁵＋…＋2^n＋2)＋(n＋1)·2^n＋3,

∴S_n＝―2³―＋(n＋1)·2^n＋3＝n·2^n＋3.    …………(12分)