Question

【題目】已知．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在及唯一正整數(shù)，使得，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是;(2) 的取值范圍是.

【解析】試題分析：

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過對導(dǎo)函數(shù)符號的討論可得函數(shù)的單調(diào)性．（2）由題意得函數(shù)在上的值域為．結(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，滿足的正整數(shù)解只有1個．通過討論的單調(diào)性可得只需滿足，由此可得所求范圍．

試題解析：

（1）由題意知函數(shù)的定義域為．

因為，

所以，

令，則，

所以當(dāng)時， 是增函數(shù)，

又，

故當(dāng)時， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時， 單調(diào)遞增．

所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）由（1）知當(dāng)時， 取得最小值，

又，

所以在上的值域為．

因為存在及唯一正整數(shù)，使得，

所以滿足的正整數(shù)解只有1個．

因為，

所以，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，即，

解得．

所以實數(shù)的取值范圍是．