Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l：x=t（t＞2）與x軸交于點(diǎn)T，P為l上異于T的任一點(diǎn)，直線PA₁、PA₂分別與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，試問(wèn)直線MN是否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意得，e=

c

a

=

3

2

，a=2，從而求得b、c的值，從而求得橢圓的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直線方程代入橢圓的方程解出M點(diǎn)、N點(diǎn)坐標(biāo)，由直線A₁M與直線A₂N的交點(diǎn)P（t，y_p）在直線l上，求出直線MN與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得線MN是通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的條件．

解答：解：（1）由已知橢圓C的離心率e=

c

a

=

3

2

，a=2，可得 c=

3

，b=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線A₁M斜率為k₁，則直線A₁M的方程為y=k₁（x+2），
由

y=k1(x+2) x2 4 +y2=1

，解得x1=

-8 k 2 1 +2

4 k 2 1 +1

，y1=

4k1

4 k 2 1 +1

，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（

-8 k 2 1 +2

4 k 2 1 +1

，

4k1

4 k 2 1 +1

）．
同理，設(shè)直線A₂N的斜率為k₂則N點(diǎn)坐標(biāo)為（

8 k 2 2 -2

4 k 2 2 +1

，

-4k2

4 k 2 2 +1

）．
由直線A₁M與直線A₂N的交點(diǎn)P（t，y_p）在直線l上，
又y_p=k₁（t+2），y_p=k₂（t-2），∴k₁（t+2）=k₂（t-2），∴

k1-k2

k1+k2

=-

2

t

．
又MN的方程為

y-y1

x-x1

=

y2-y1

x2-x1

，令y=0，得  x=

x2y1-x1y2

y1-y2

=

4

t

．
即直線MN與x軸交點(diǎn)為(

4

t

，0)，又t＞2，∴0＜

4

t

＜2．
又橢圓右焦點(diǎn)為(

3

，0)，故當(dāng) t=

4 3

3

時(shí)，MN過(guò)橢圓的焦點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．由于A₁、A₂兩點(diǎn)已知，故易求得直線與橢圓的交點(diǎn)M和N的坐標(biāo)，這樣就易求出MN與x軸的交點(diǎn)，在計(jì)算過(guò)程中要注意計(jì)算的技巧．