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8.已知函數(shù)f(x)=(x2-2x)lnx+ax2-x
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1e,e](e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析 (1)由a=1,得f(x),對(duì)f(x)求導(dǎo)后單調(diào)區(qū)間可得.
(2)分離參數(shù)a,構(gòu)造新函數(shù)h(x),將原命題等價(jià)轉(zhuǎn)換為h(x)=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù),研究h(x)的走勢(shì),數(shù)形結(jié)合,得出a的范圍對(duì)應(yīng)的與h(x)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù),即f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解答 解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=(x2-2x)lnx+x2-x,
∴f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
f′(x)=(2x-2)lnx+3x-3=(x-1)(2lnx+3),
令f′(x)=0,得x=1或x=e32,
∴x∈(0,e32),(1,+∞)是f(x)的遞增區(qū)間,
f(x)的遞減區(qū)間是(e32,1),
(2)f(x)在區(qū)間[1e,e]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),
即f(x)=0在區(qū)間[1e,e]上的解.
即-a=(1-2x)lnx-1x,
令h(x)=(1-2x)lnx-1x
∴h′(x)=2lnx+x1x2,
令g(x)=2lnx+x-1,
∴g′(x)=2x+1,
∴g(x)在區(qū)間(0,+∞)時(shí)單調(diào)遞增的,
g(1)=0,
∴x∈(0,1)時(shí),g(x)<0,x∈(1,+∞)時(shí),g(x)>0,
∴h′(x)在x∈(0,1)時(shí),h′(x)<0,x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)>0,
∴h(x)在x∈(0,1)時(shí),h(x)時(shí)單調(diào)遞減的,x∈(1,+∞)時(shí),h(x)時(shí)單調(diào)遞增的.
∴h(x)最小值為h(1)=-1,
h(e)=1-3e,h(1e)=e-1,
∴①-a<-1或-a>e-1時(shí),即a<1-e或a>1時(shí),f(x)在區(qū)間[1e,e]上無(wú)零點(diǎn);
②-a=-1或1-3e<-a≤e-1時(shí),即a=1或1-e≤a<3e-1時(shí),f(x)在區(qū)間[1e,e]上有一個(gè)零點(diǎn);
③-1<-a≤1-3e,即3e-1≤a<1時(shí),f(x)在區(qū)間[1e,e]上有兩個(gè)零點(diǎn);
綜上所述:a<1-e或a>1時(shí),f(x)在區(qū)間[1e,e]上無(wú)零點(diǎn);
a=1或1-e≤a<3e-1時(shí),f(x)在區(qū)間[1e,e]上有一個(gè)零點(diǎn);
3e-1≤a<1時(shí),f(x)在區(qū)間[1e,e]上有兩個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)求導(dǎo),由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.以及將零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),數(shù)形結(jié)合.

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