Question

設(shè)a＞0，a≠1，若函數(shù)y=a^2x+2a^x-1在區(qū)間[-1，1]上的最大值是14，求a的值．

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)t=a^x，可轉(zhuǎn)化為y=t²+2t-1，對(duì)a分a＞1與0＜a＜1討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得a的值．

解答：解：令t=a^x，則y=t²+2t-1其對(duì)稱軸為t=-1…（2分）
1）若a＞1，x∈[-1，1]，則t=a^x∈[

1

a

，a]…（4分）
當(dāng)t=a時(shí)，y_max=a²+2a-1=14解得a=3或a=-5（舍去）…（7分）
2）若0＜a＜1，x∈[-1，1]，則t=a^x∈[a，

1

a

]…（9分）
當(dāng)t=

1

a

是，y_max=(

1

a

)2+2×

1

a

-1=14，解得a=

1

3

或a=-

1

5

（舍去）…（12分）
綜上可得a=3或a=

1

3

          …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查構(gòu)造函數(shù)思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．