Question

17、設a∈R，函數f（x）=2x³+（6-3a）x²-12ax+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）在[-2，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數的導函數，把a=1代入導函數確定出導函數的解析式，然后把x=0代入導函數中求出值即為切線的斜率，把x=0代入
f（x）的解析式中求出切點的縱坐標f（0），然后根據求出的切點坐標和斜率寫出切線的方程即可；
（Ⅱ）令導函數等于0求出此時x的值，然后分a大于等于2和a小于2大于-2兩種情況，由x的值討論導函數的正負即可得到函數的單調區(qū)間，由函數的增減性即可得到函數的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6[x²+（2-a）x-2a]=6（x+2）（x-a）．（3分）
當a=1時，f'（0）=-12，?f（0）=2，
所以切線方程為y-2=-12x，即12x+y-2=0．（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得：x₁=-2，x₂=a．
①a≥2，則當x∈（-2，2）時，f'（x）＜0，函數f（x）在（-2，2）上單調遞減，
所以，當x=2時，函數f（x）取得最小值，最小值為f（2）=42-36a．（8分）
②-2＜a＜2，則當x∈（-2，2）時，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以，當x=a時，函數f（x）取得最小值，最小值為f（a）=-a³-6a²+2．（11分）
③a≤-2，則當x∈（-2，2）時，f'（x）＞0，函數f（x）在（-2，2）上單調遞增，
所以，當x=-2時，函數f（x）取得最小值，最小值為f（-2）=10+12a．（13分）
綜上，當a≤-2時，f（x）的最小值為10+12a；當-2＜a＜2時，f（x）的最小值為-a³-6a²+2；
當a≥2時，f（x）的最小值為42-36a．（14分）

點評：此題考查會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據斜率和一點寫出直線的方程，會利用導函數的正負判斷函數的單調區(qū)間并根據函數的增減性得到函數的最值，是一道綜合題．