在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側(cè)棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

（Ⅰ）取的中點(diǎn)M，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，∴在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，，且則四邊形A1DBM為平行四邊形，，又平面，平面平面（Ⅱ）

解析試題分析：取的中點(diǎn)M，，

為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，∴，
在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，
，且，
則四邊形A1DBM為平行四邊形，，
，又平面，平面，
平面．  6分
（Ⅱ）連接DM，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
∴，，．
設(shè)面BC1D的一個(gè)法向量為，面BC1E的一個(gè)法向量為，
則由得取，
又由得取，
則，
故二面角E－BC1－D的余弦值為．  12分
考點(diǎn)：線面平行的判定及二面角求解
點(diǎn)評：利用空間向量法證明線面平行只需證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在面內(nèi)即可，求二面角時(shí)首先找到兩面的法向量，求出法向量的夾角，觀察圖形得到二面角（等于夾角或與夾角互補(bǔ)）

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，圓錐頂點(diǎn)為.底面圓心為，其母線與底面所成的角為.和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為，

（Ⅰ）證明：平面與平面的交線平行于底面；
（Ⅱ）求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題


幾何體EFG —ABCD的面ABCD，ADGE，DCFG均為矩形，AD=DC=l，AE=。

（I）求證：EF⊥平面GDB；
（Ⅱ）線段DG上是否存在點(diǎn)M使直線BM與平面BEF所成的角為45°，若存在求等￥ 的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．   
（1）證明：平面；
（2）線段上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)，并求的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱，，點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：∥平面；
(Ⅱ)若二面角A為直二面角，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

邊長為2的正方形ABCD所在平面外有一點(diǎn)P，平面ABCD，，E是PC上的一點(diǎn)．
 
（Ⅰ）求證：AB//平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）線段為多長時(shí)，平面？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖是三棱柱的三視圖，正（主）視圖和俯視圖都是矩形，側(cè)（左）視圖為等邊三角形，為的中點(diǎn).
          
(1)求證：∥平面；
(2)設(shè)垂直于，且，求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，
PA=BC=1，PD=AB=,E、F分別為線段PD和BC的中點(diǎn)．

（Ⅰ） 求證：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）在線段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°？若存在，試確定G的位置；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動．

(1)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)求證：無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有；
(3)當(dāng)為何值時(shí),與平面所成角的大小為45°.

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