Question

設(shè)a∈R，f（x）為奇函數(shù)，且f(2x)=

a•4x-a-2

4x+1

（1）試求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）的解析式及f^-1（x）的定義域；
（2）設(shè)g(x)=log

2

1+x

k

，是否存在實(shí)數(shù)k，使得對(duì)于任意的x∈[

1

2

，

2

3

]，f^-1（x）≤g（x）恒成立，如果存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）為奇函數(shù)當(dāng)x=0有意義，則f（0）=0，求出a，求出f（x）的解析式；將函數(shù)f（x）看出關(guān)于x的方程，求出x，將x換成y，將y換成x求出反函數(shù)，求出f（x）的值域即反函數(shù)的定義域．
（2）先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0求出k的范圍；利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立；轉(zhuǎn)化為函數(shù)的求最值．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，且x∈R所以f（0）=0，得a=1，f(x)=

2x-1

2x+1

f-1(x)=log2

1+x

1-x

，x∈(-1，1)（6分）
（2）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)k．
因?yàn)?span id="usbknko" class="MathJye">x∈[

1

2

，

2

3

]，所以k＞0
由f^-1（x）≤g（x）得log2

1+x

1-x

≤log

2

1+x

k

，所以0＜

1+x

1-x

≤(

1+x

k

)2，
所以當(dāng)x∈[

1

2

，

2

3

]時(shí)，k²≤1-x²恒成立（10分）
即k2≤(1-x2)min=

5

9

，又k＞0
所以k的取值范圍是0＜k≤

5

3

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇函數(shù)的特殊函數(shù)值f（0）=0、考查反函數(shù)的求法、利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決對(duì)數(shù)不等式問(wèn)題，解決不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值．