Question

一數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的平均數(shù)為n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

an

2n+1

，證明數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列；
（3）設(shè)f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

an

2n+1

，是否存在最大的數(shù)M？當(dāng)x≤M時(shí)，對(duì)于一切非零自然數(shù)n，都有f（x）≤0．

Answer 1

分析：（1）利用平均數(shù)的意義和當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）作差b_n+1-b_n，證明其大于0即可；
（3）利用（2）bn=

2n-1

2n+1

遞增，因此有最小值

1

3

．解出f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

2n-1

2n+1

≤-

x2

3

+

4x

3

-

1

3

≤0，即可知道是否存在最大的數(shù)M．

解答：解：（1）由題意可得n=

a1+a2+…+an

n

，∴Sn=n2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當(dāng)n=1時(shí)也成立．故a_n=2n-1．
（2）作差b_n+1-b_n=

an+1

2n+3

-

an

2n+1

=

2n+1

2n+3

-

2n-1

2n+1

=

(2n+1)2-(2n-1)(2n+3)

(2n+1)(2n+3)

=

4

(2n+1)(2n+3)

＞0，
∴b_n+1＞b_n對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，因此數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列．
（3）∵bn=

2n-1

2n+1

遞增，∴有最小值

1

3

，
∴f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

2n-1

2n+1

≤-

x2

3

+

4x

3

-

1

3

≤0，解得x²-4x+1≥0，x≥2+

3

，或x≤2-

3

．
所以M=2-

3

．
存在最大的數(shù)M=2-

3

，當(dāng)x≤M時(shí)，對(duì)于一切非零自然數(shù)n，都有f（x）≤0．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式與其前n項(xiàng)和之間的關(guān)系、作差法比較數(shù)的大小、一元二次不等式的解法及其轉(zhuǎn)化法等是解題的關(guān)鍵．