Question

（09年臨沭縣模塊考試文）（14分）

       已知圓M的方程為：及定點(diǎn)N（3，0），動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)，線

       段PN的垂直平分線交圓M的半徑MP于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C。

   （Ⅰ）求曲線C的方程；

   （Ⅱ）試問：過點(diǎn)是否存在直線l，使直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且

         ，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理

         由。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）|MP|=|MQ|+|QP|

       又∵Q在PN的垂直平分線上，

       ∴|QP|=|QN|，

       ∴|MP|=|QM|+|QN|，

       即|QM|+|QN|=10

       ∴曲線C是焦點(diǎn)為M、N的橢圓，c=3，a=5，b=4.

       ∴曲線C方程為                                                  ?????????????????6分

   （Ⅱ）假設(shè)存在這樣的直線l，當(dāng)斜率l不存在使，A、O、B共線，不滿足條件。

       設(shè)l的斜率為k，

       ∴l的方程為                                                      ????????????????8分

       由   

       得

       ∴                          ?????????????????10分

      

                 

       又∵

       代入得

       ∴                                          ?????????????????13分

       ∴假設(shè)成立，這樣的直線存在，方程為     ?????????????????14分