已知數(shù)列
8•1
12•32
，  
8•2
32•52
， …， 
8n
(2n-1)2(2n+1)2
， ….Sn為其前n項(xiàng)和．計(jì)算得S1=
8
9
，  S2=
24
25
，  S3=
48
49
，  S4=
80
81
.觀察上述結(jié)果，推測(cè)出計(jì)算Sn的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．
分析：觀察分析題設(shè)條件可知Sn=
(2n+1)2-1
(2n+1)2
?(n∈N)．然后再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
解答：解：觀察分析題設(shè)條件可知Sn=
(2n+1)2-1
(2n+1)2
(n∈N)
證明如下：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=
32-1
32
=
8
9
，等式成立．
（Ⅱ）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即Sk=
(2k+1)2-1
(2k+1)2
.則Sk+1=Sk+
8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2
=
(2k+1)2-1
(2k+1)2
+
8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2
=
[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2
=
(2k+1)2(2k+3)2-(2k+3)2+8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2
=
(2k+1)2(2k+3)2-(2k+1)2
(2k+1)2(2k+3)2
=
(2k+3)2-1
(2k+3)2
=
[2(k+1)+1]2-1
[2(k+1)+1]2

由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）（2）可知，等式對(duì)任何n∈N都成立
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意培養(yǎng)計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)給出下列四個(gè)命題：
①已知函數(shù)y=2sin（x+φ）（0＜φ＜π）的圖象如圖所示，則?=
π
6
或
5
6
π；
②已知O、A、B、C是平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，且
OA
=α
OB
+β
OC
，則α+β=1是A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件；
③若數(shù)列an恒滿足
a
2
n+1
a
2
n
=p（p為正常數(shù)，n∈N*），則稱(chēng)數(shù)列an是“等方比數(shù)列”．根據(jù)此定義可以斷定：若數(shù)列an是“等方比數(shù)列”，則它一定是等比數(shù)列；
④求解關(guān)于變量m、n的不定方程3n-2=2m-1（n，m∈N*），可以得到該方程中變量n的所有取值的表達(dá)式為n=
1
12
(4k+8)
（k∈N*）．
其中正確命題的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列
8•1
12•32
，
8•2
32•52
，…，
8•n
(2n-1)2•(2n+1)2
，…，Sn為該數(shù)列的前n項(xiàng)和，
（1）計(jì)算S1，S2，S3，S4，
（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知數(shù)列
8•1
12•32
，  
8•2
32•52
， …， 
8n
(2n-1)2(2n+1)2
， ….Sn為其前n項(xiàng)和．計(jì)算得S1=
8
9
，  S2=
24
25
，  S3=
48
49
，  S4=
80
81
.觀察上述結(jié)果，推測(cè)出計(jì)算Sn的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

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