Question

（2011•東城區(qū)二模）對(duì)任意x∈R，函數(shù)f（x）滿足f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

，設(shè)a_n=[f（n）]²-f（n），數(shù)列{a_n}的前15項(xiàng)的和為-

31

16

，則f（15）=

3

4

．

Answer 1

分析：通過f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

推出數(shù)列第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)的關(guān)系，找出規(guī)律，求出a₁₅，然后解出f（15）=的值．

解答：解：∵f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

，
∴f(x+1)-

1

2

=

f(x)-[f(x)]2

，
兩邊平方得[f(x+1)-

1

2

]2=f(x)-[f(x)]2
⇒[f(x+1)]2-f(x+1)+

1

4

=f(x)-[f(x)]2，
即an+1+an=-

1

4

，即數(shù)列{a_n}任意相鄰兩項(xiàng)相加為常數(shù)-

1

4

，
則S15=7×(-

1

4

)+a15=-

31

16

⇒a15=-

3

16

，
即[f(15)]2-f(15)=-

3

16

⇒f(15)=

3

4

或f(15)=

1

4

，
又由f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

≥

1

2

，
可得f(15)=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，數(shù)列的遞推關(guān)系式，推出數(shù)列中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，注意驗(yàn)證數(shù)列的項(xiàng)是否在數(shù)列中，考查計(jì)算能力．