分析:(1)由于數(shù)列{a
n}滿足:a
1=1,
an+1=(1+4an+)(n∈N*),先求出a
2,再求出a
3.
(2)由
bn=,可得
an= ,代入
an+1=(1+4an+)(n∈N*) 化簡可得
2(b
n+1-3)=b
n-3,故{b
n-3}是以2為首項(xiàng),以
為公比的等比數(shù)列,由此求出數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式.
(3)先根據(jù)
an=求出a
n,化簡f(n)=6a
n+1-3a
n =(
1-)(
1+).再由當(dāng)n≥2時,
(1+)•
(1-)=1+
>1
可得f(1)•f(2)…f(n)>(
1-)(
1+)=
+
>
.
解答:解:(1)∵數(shù)列{a
n}滿足:a
1=1,
an+1=(1+4an+)(n∈N*),
∴a
2=
(1+4a1+)=
,
a3=(1+4a2+)=
(1+4×+)=
.
(2)∵
bn=,∴
an= ,代入
an+1=(1+4an+)(n∈N*) 得
=
(1+4× + bn),化簡可得 4
bn+12=
(bn+3)2,即 2b
n+1=b
n+3.
∴2(b
n+1-3)=b
n-3,∴{b
n-3}是以2為首項(xiàng),以
為公比的等比數(shù)列,
∴b
n-3=2
()n-1,∴b
n=
()n-2+3.
(3)證明:∵已知
an==
=
×()n+()n+,
故 f(n)=6a
n+1-3a
n =6[
×()n+1+()n+1+]-3(
×()n+()n+)=1-
=(
1-)(
1+).
當(dāng)n≥2時,有
(1+)•
(1-)=
1-+
-
=1+
>1.
∴f(1)•f(2)…•f(n)=(
1-)(
1+)•(
1-)(
1+)…(
1-)(
1+)
>(
1-)(
1+)=
+
>
.
故要證的不等式
f(1)•f(2)…f(n)>成立.
點(diǎn)評:本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì),根據(jù)遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,用放縮法證明不等式,屬于中檔題.