Question

已知函數(shù)f（x）=，f（2）=，f′（2）=4，g（2）=1，g′（2）=3
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)h（x）=在點(diǎn)（2，h（2））處的切線能否與函數(shù)f（x）的圖象相切？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵f^′（2）=4，f^′（x）=x²+2ax+b，∴2²+4a+b=4，解得b=-4a，
∴f^′（x）=x²+2ax-4a，△=4a²+16a=4（a²+4a）．
當(dāng)△＞0時(shí)，即a＞0或a＜-4時(shí)，x_1，2=，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間：，．
當(dāng)△≤0時(shí)，即-4≤a≤4時(shí)，f^′（x）≥0，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間：（-∞，+∞）．
（2）∵==1，即切點(diǎn)為（2，1）．
由，得=1，
所以，曲線h（x）在點(diǎn)（2，1）處的切線方程y=x-1．
當(dāng)a=1時(shí)，b=-4．
由，∴，得c=2，
∴f（x）=，f^′（x）=x²+2x-4．
當(dāng)f^′（x）=x²+2x-4=1，x²+2x-5=0，∴．
當(dāng)時(shí)，．
而，y=x-1=-2．
所以函數(shù)在點(diǎn)（2，h（2））處的切線不能與函數(shù)f（x）圖象相切．
分析：（1）利用f^′（2）=4即可得到b=-4a，進(jìn)而得到f^′（x）=x²+2ax-4a，通過(guò)對(duì)其△與0 的關(guān)系分類討論即可得出單調(diào)性；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出切線的方程；再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，比較函數(shù)值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、“三個(gè)二次”的關(guān)系、切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)與方法．