Question

已知圓x²+y²-4ax+2ay+20（a-1）=0．
（1）求證對(duì)任意實(shí)數(shù)a，該圓恒過一定點(diǎn)；
（2）若該圓與圓x²+y²=4相切，求a的值．

Answer 1

分析：（1）將a分離，可得（x²+y²-20）+a（-4x+2y+20）=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)a成立，則

x2+y2=20 -4x+2y+20=0

，由此可得結(jié)論；
（2）利用兩圓外切，內(nèi)切，分別求出a的值，即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：將圓的方程整理為（x²+y²-20）+a（-4x+2y+20）=0，
令

x2+y2=20 -4x+2y+20=0

可得

x=4 y=-2

所以該圓恒過定點(diǎn)（4，-2）．
（2）解：圓的方程可化為（x-2a）²+（y+a）²=5a²-20a+20=5（a-2）²，所以圓心為（2a，-a），半徑為

5

|a-2|．
若兩圓外切，則

5

|a|=2+

5

|a-2|，由此解得a=1+

5

5

．
若兩圓內(nèi)切，則

5

|a|=|2-

5

|a-2||，由此解得a=1-

5

5

或a=1+

5

5

（舍去）．
綜上所述，兩圓相切時(shí)，a=1-

5

5

或a=1+

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓過定點(diǎn)，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．