【題目】已知函數
.
(1)求曲線
在點
處的切線方程；
(2)證明：
在區(qū)間
上有且僅有
個零點.
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
（1）給函數求導，將切點的橫坐標帶入原函數，導函數，分別求出切點和斜率，用點斜式寫出直線方程即可.
（2）當
時，
，所以，函數
在區(qū)間
上沒有零點；又
，下面只需證明函數在區(qū)間
上有且只有一個零點.因為函數
在區(qū)間上單調遞增，
，
，存在
，使得
，函數在
處取得極小值，則
，又
，所以
，由零點存在定理可知，函數在區(qū)間上有且只有一個零點.綜上可得，函數
在
上有且僅有兩個零點.
（1）
，則
，
，
.
因此，函數在點
處的切線方程為
，即.
（2）當時，
，此時，，
所以，函數在區(qū)間上沒有零點；
又，下面只需證明函數在區(qū)間上有且只有一個零點.
，構造函數
，則
，
當
時，
，
所以，函數在區(qū)間上單調遞增，
，，
由零點存在定理知，存在，使得，
當
時，
，當
時，
.
所以，函數在處取得極小值，則，
又，所以，
由零點存在定理可知，函數在區(qū)間上有且只有一個零點.
綜上可得，函數在上有且僅有兩個零點.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列五個命題：
①直線
平行于平面
內的一條直線，則
；
②若
是銳角三角形，則
；
③已知
是等差數列
的前
項和，若
，則
；
④當
時，不等式
恒成立，則實數
的取值范圍為
.
其中正確命題的序號為___________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，頂點P在底面的投影
恰為正方形ABCD的中心且
，設點M，N分別為線段PD，PO上的動點，已知當
取得最小值時，動點M恰為PD的中點，則該四棱錐的外接球的表面積為____________．
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，直線
與橢圓C交于A，B兩點，且
．
(1)求橢圓C的方程．
(2)不經過點
的直線
被圓
截得的弦長與橢圓C的長軸長相等，且直線
與橢圓C交于D，E兩點，試判斷
的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
是由滿足下列性質的函數
構成的集合：在函數的定義城內存在
，使得
成立，已知下列函數：①
；②
；③
；④
. 其中屬于集合的函數是________. （寫出所有滿足要求的函數的序號）
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