Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=2-（

2

n

+1）a_n（n≥1）．
（1）求證：數(shù)列{

an

n

}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{2ⁿa_n}的前n項(xiàng)和為T_n，A_n=

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

．試比較A_n與

2

nan

的大�。�

Answer 1

分析：（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=

1

2

，由S_n=2-（

2

n

+1）a_n得S_n-1=2-（

2

n-1

+1）a_n-1，由此能證明數(shù)列{

an

n

}是等比數(shù)列．
（2）由

an

n

=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

，知2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，

1

Tn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，A_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n

-

1

n+1

)=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．又

2

nan

=

2n+1

n2

，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較

2n

n2

與

n

n+1

的大�。�

解答：解：（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=

1

2

，
由S_n=2-（

2

n

+1）a_n得S_n-1=2-（

2

n-1

+1）a_n-1，
于是a_n=S_n-S_n-1=（

2

n-1

+1）a_n-1-（

2

n

+1）a_n，
整理得

an

n

=

1

2

×

an-1

n-1

（n≥2），
所以數(shù)列{

an

n

}是首項(xiàng)及公比均為

1

2

的等比數(shù)列．
（2）由（Ⅰ）得

an

n

=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
于是2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，

1

Tn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
A_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n

-

1

n+1

)=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

又

2

nan

=

2n+1

n2

，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較

2n+1

n2

與

2n

n+1

的大小，即

2n

n2

與

n

n+1

的大�。�
設(shè)f（n）=

2n

n2

，g（n）=

n

n+1

．
∵f（n+1）-f（n）=

2n[n(n-2)-1]

[n(n+1)]2

，當(dāng)n≥3時(shí)，f（n+1）-f（n）＞0，
∴當(dāng)n≥3時(shí)f（n）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)n≥4時(shí)，f（n）≥f（4）=1，而g（n）＜1，∴當(dāng)n≥4時(shí)f（n）＞g（n），
經(jīng)檢驗(yàn)n=1，2，3時(shí)，仍有f（n）≥g（n），
因此，對(duì)任意正整數(shù)n，都有f（n）＞g（n），
即A_n＜

2

nan

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的等比數(shù)列的證明方法和數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．