有冪函數(shù)y=xα(α≠0)若干個(gè),每個(gè)函數(shù)至少具有下面三條性質(zhì)之一:①是奇函數(shù);②是(-∞,+∞)內(nèi)的增函數(shù);③函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),又已知同時(shí)具有性質(zhì)①的共有15個(gè),具有性質(zhì)②的共有12個(gè),具有性質(zhì)③的共有18個(gè),試問這些冪函數(shù)共有幾個(gè)?其中冪指數(shù)小于零的有幾個(gè)?

答案:
解析:

  解:設(shè)這些冪函數(shù)中分別具備性質(zhì)①、②、③的函數(shù)分別組成集合A、B、C.而冪指數(shù)小于零的全體構(gòu)成集合D.依題意有Card(A)=15,Card(B)=12,Card(C)=18,又由冪函數(shù)的性質(zhì)知在R內(nèi)是增函數(shù)一定是奇函數(shù),且圖象一定經(jīng)過原點(diǎn);又若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù),且圖象又經(jīng)過原點(diǎn)的冪函數(shù)一定是在R上的增函數(shù).

  ∴BA,BC,A∩CB,BA∩C.

  ∴A∩C=B.

  則Card(A∪B∪C)=Card(A∪C)=Card(A)+Card(C)-Card(A∩C)

 。紺ard(A)+Card(C)-Card(B)=15+18-12=21,

  即共有冪函數(shù)21個(gè).

  又冪指數(shù)小于零的冪函數(shù)圖象一定不經(jīng)過原點(diǎn),反之亦然,故其中冪指數(shù)小于零的函數(shù)有21-18=3個(gè).

  思路分析:由題意可以把分別具備性質(zhì)①、②、③的函數(shù)分別組成集合A、B、C,能用集合的相關(guān)運(yùn)算解決.


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冪函數(shù)y=xn,當(dāng)n取不同的正數(shù)時(shí),它們?cè)趨^(qū)間[0,1]上的圖象是一族美麗的曲線,如下圖.設(shè)點(diǎn)A(1,0),B(0,1),連接AB,線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y=xα,y=xβ的圖象三等分,即有BM=MN=NA.那么α+β=________,αβ=________(精確到0.01.參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771).

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給出下列命題:

①y=1是冪函數(shù);

②函數(shù)y=|x+2|-2x在R上有3個(gè)零點(diǎn)

的解集為[2,+∞);

④當(dāng)n≤0時(shí),冪函數(shù)y=xn的圖象與兩坐標(biāo)軸不相交;

其中真命題的序號(hào)是_________(寫出所有正確命題的編號(hào)).

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針對(duì)冪函數(shù)y=xn(n∈Q),四位同學(xué)談了他們的認(rèn)識(shí):

甲:所有圖象的公共點(diǎn)有四個(gè).

乙:每個(gè)函數(shù)不是關(guān)于y軸對(duì)稱,就是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

丙:如果冪指數(shù)0<n1<n2<n3,則當(dāng)x>0時(shí),y=xn2的圖象夾在y=xn1與y=xn3兩個(gè)圖象之間.

。汉瘮(shù)的圖象與y軸無公共點(diǎn).

到底誰的認(rèn)識(shí)是正確的?對(duì)于冪函數(shù),你又有怎樣的理解呢?

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下列四個(gè)結(jié)論:①冪函數(shù)y=xa的圖象與與直線y=x可能有三個(gè)交點(diǎn);②若b≤0,則函數(shù)y=ax+b-1(a>0,a≠1)的圖象不經(jīng)過第一象限;③若x+x-1=3,則=1;④函數(shù)定義域?yàn)?I>R,則m的取值范圍為[0,);其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)為

[  ]
A.

①②④

B.

①②③

C.

①③

D.

②④

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