有冪函數(shù)y＝xα(α≠0)若干個(gè)，每個(gè)函數(shù)至少具有下面三條性質(zhì)之一：①是奇函數(shù)；②是(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)；③函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，又已知同時(shí)具有性質(zhì)①的共有15個(gè)，具有性質(zhì)②的共有12個(gè)，具有性質(zhì)③的共有18個(gè)，試問這些冪函數(shù)共有幾個(gè)？其中冪指數(shù)小于零的有幾個(gè)？

答案：
解析：

　　解：設(shè)這些冪函數(shù)中分別具備性質(zhì)①、②、③的函數(shù)分別組成集合A、B、C．而冪指數(shù)小于零的全體構(gòu)成集合D．依題意有Card(A)＝15，Card(B)＝12，Card(C)＝18，又由冪函數(shù)的性質(zhì)知在R內(nèi)是增函數(shù)一定是奇函數(shù)，且圖象一定經(jīng)過原點(diǎn)；又若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，且圖象又經(jīng)過原點(diǎn)的冪函數(shù)一定是在R上的增函數(shù)．

　　∴BA，BC，A∩CB，BA∩C．

　　∴A∩C＝B．

　　則Card(A∪B∪C)＝Card(A∪C)＝Card(A)＋Card(C)－Card(A∩C)

　�。紺ard(A)＋Card(C)－Card(B)＝15＋18－12＝21，

　　即共有冪函數(shù)21個(gè)．

　　又冪指數(shù)小于零的冪函數(shù)圖象一定不經(jīng)過原點(diǎn)，反之亦然，故其中冪指數(shù)小于零的函數(shù)有21－18＝3個(gè)．

　　思路分析：由題意可以把分別具備性質(zhì)①、②、③的函數(shù)分別組成集合A、B、C，能用集合的相關(guān)運(yùn)算解決．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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冪函數(shù)y＝xn，當(dāng)n取不同的正數(shù)時(shí)，它們?cè)趨^(qū)間[0，1]上的圖象是一族美麗的曲線，如下圖．設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y＝xα，y＝xβ的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么α＋β＝________，αβ＝________(精確到0.01．參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)．

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給出下列命題：

①y＝1是冪函數(shù)；

②函數(shù)y＝|x＋2|－2x在R上有3個(gè)零點(diǎn)；

③的解集為[2，＋∞)；

④當(dāng)n≤0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn的圖象與兩坐標(biāo)軸不相交；

其中真命題的序號(hào)是_________(寫出所有正確命題的編號(hào))．

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針對(duì)冪函數(shù)y＝xn(n∈Q)，四位同學(xué)談了他們的認(rèn)識(shí)：

甲：所有圖象的公共點(diǎn)有四個(gè)．

乙：每個(gè)函數(shù)不是關(guān)于y軸對(duì)稱，就是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

丙：如果冪指數(shù)0＜n1＜n2＜n3，則當(dāng)x＞0時(shí)，y＝xn2的圖象夾在y＝xn1與y＝xn3兩個(gè)圖象之間．

�。汉瘮�(shù)的圖象與y軸無公共點(diǎn)．

到底誰的認(rèn)識(shí)是正確的？對(duì)于冪函數(shù)，你又有怎樣的理解呢？

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下列四個(gè)結(jié)論：①冪函數(shù)y＝xa的圖象與與直線y＝x可能有三個(gè)交點(diǎn)；②若b≤0，則函數(shù)y＝ax＋b－1(a＞0，a≠1)的圖象不經(jīng)過第一象限；③若x＋x－1＝3，則＝1；④函數(shù)定義域?yàn)?I>R，則m的取值范圍為[0，)；其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)為

[　　]
A．

①②④

B．

①②③

C．

①③

D．

②④

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