Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x²-y²=2的離心率互為倒數，且以拋物線y²=4x的焦點F為右焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）過右焦點F作斜率為-

2

2

的直線l交曲線C于M、N兩點，且

OM

+

ON

+

OH

=0，又點H關于原點O的對稱點為點G，試問M、G、N、H四點是否共圓？若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）雙曲線x²-y²=2的離心率為

2

，可得橢圓C的離心率e=

2

2

=

c

a

．由拋物線y²=4x的焦點F（1，0）為橢圓的右焦點，可得c=1．再利用b²=a²-c²即可得出．
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），G（-x₀，-y₀）．直線l的方程為：y=-

2

2

(x-1)，與橢圓方程聯立可得根與系數的關系，利用中點坐標公式可得線段MN的垂直平分線為：y-

2

4

=

2

(x-

1

2

)，利用

OM

+

ON

+

OH

=0，可得H，G．進而得到線段GH的垂直平分線．聯立解得即可．

解答： 解：（I）∵雙曲線x²-y²=2的離心率為

2

，
∴橢圓C的離心率e=

2

2

=

c

a

．
∵拋物線y²=4x的焦點F（1，0）為橢圓的右焦點，∴c=1．
解得a=

2

，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），G（-x₀，-y₀）．
直線l的方程為：y=-

2

2

(x-1)，
聯立

y=- 2 2 (x-1) x2+2y2=2

，化為2x²-2x-1=0，
可得x₁+x₂=1，x₁x₂=-

1

2

．
∴y₁+y₂=-

2

2

(x1+x2-2)=

2

2

．
可得線段MN的垂直平分線為：y-

2

4

=

2

(x-

1

2

)，
化為4

2

x-4y-

2

=0．
∵

OM

+

ON

+

OH

=0，
∴x₁+x₂+x₀=0，y₁+y₂+y₀=0，
解得x₀=-1，y₀=-

2

2

，即H(-1，-

2

2

)．
∴G(1，

2

2

)．
線段GH垂直平分線的方程為y=-

2

x．
聯立

y=- 2 x 4 2 x-4y- 2 =0

，解得(

1

8

，-

2

8

)，
∴r=

(1- 1 8 )2+( 2 2 + 2 8 )2

=

3 11

8

．
因此M、G、N、H四點是共圓，圓心坐標為(

1

8

，-

2

8

)，半徑r=

3 11

8

．

點評：本題考查了圓錐曲線的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、中點坐標公式、線段的垂直平分線性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．