Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n．
（Ⅱ）由數(shù)列{b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，可得b_n-a_n=3n-2，b_n=2ⁿ+3n-2．再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2．
則${a}_{n}={2}^{n}$．
（Ⅱ）∵數(shù)列{b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，
∴b_n-a_n=1+3（n-1）=3n-2．
∴b_n=2ⁿ+3n-2．
則T_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+$\frac{n（1+3n-2）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{1}{2}$n．

點(diǎn)評 本小題主要考查通過遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)以及數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．