Question

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=

6

，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，點O為AC的中點，AD=1，CD=3，PD=

3

．
（1）求證：BO⊥平面PAC
（2）證明：△PBC為直角三角形；
（3）求直線AP與平面PBC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先證BO⊥AC，再由面面垂直的性質(zhì)定理，即可得證；
（2）證明1：先證明PD⊥平面ABC，在△PBC中，可得BC=

6

，PB=

6

，PC=2

3

，從而BC²+PB²=PC²．
證明2：先證明PD⊥平面ABC，再證明BC⊥BD，BC⊥PD，從而可得BC⊥平面PBD．
（3）建立空間直角坐標系，確定

AP

=(0，1，

3

)，以及平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，可求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

解答：解：法一：（1）證明：∵AB=BC，點O為AC的中點，∴BO⊥AC
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO?平面ABC，
∴BO⊥平面PAC；
（2）證明：在Rt△BOC中，OC=

AC

2

=2，BO=

BC2-OC2

=

2

同理DO=1，BD=

DO2+BO2

=

3

，PC=

PD2+DC2

=2

3

∵PD⊥AC于點D，同（1）的證明可得到PD⊥平面ABC，
∵BD?平面ABC，∴PD⊥BD
在Rt△PBD中，PD=

3

，PB=

PD2+BD2

=

6

∵PC²=12=PB²+PC²，∴△PBC為直角三角形；
（3）以點O為坐標原點，以O(shè)B，OC所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖的空間直角坐標系O-xyz，
則A（0，-2，0），B(

2

，0，0)，C（0，2，0），P(0，-1，

3

)．
于是

AP

=(0，1，

3

)，

PB

=(

2

，1，-

3

)，

PC

=(0，3，-

3

)．
設(shè)平面PBC的一個法向量為n=（x，y，z），
則

n• PB =0 n• PC =0.

即

2 x+y- 3 z=0 3y- 3 z=0.

取y=1，則z=

3

，x=

2

．
所以平面PBC的一個法向量為n=(

2

，1，

3

)．
設(shè)直線AP與平面PBC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

AP

，n＞|=

| AP •n|

| AP |•|n|

=

4

2• 6

=

6

3

．
所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為

6

3

．
法二：
（1）以點E為坐標原點，以EB，EC所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖的空間直角坐標系E-xyz，
則B(

2

，0，0)，C（0，2，0），P(0，-1，

3

)．
于是

BP

=(-

2

，-1，

3

)，

BC

=(-

2

，2，0)．
因為

BP

•

BC

=(-

2

，-1，

3

)•(-

2

，2，0)=0，
所以

BP

⊥

BC

．
所以BP⊥BC．
所以△PBC為直角三角形；
（2）由（1）可得，A（0，-2，0）．
于是

AP

=(0，1，

3

)，

PB

=(

2

，1，-

3

)，

PC

=(0，3，-

3

)．
設(shè)平面PBC的法向量為n=（x，y，z），
則

n• PB =0 n• PC =0.

即

2 x+y- 3 z=0 3y- 3 z=0.

取y=1，則z=

3

，x=

2

．
所以平面PBC的一個法向量為n=(

2

，1，

3

)，
設(shè)直線AP與平面PBC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

AP

，n＞|=

| AP •n|

| AP |•|n|

=

4

2• 6

=

6

3

．
所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為

6

3

．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成角、空間向量及坐標運算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．