已知f(x)=x2+ax+a(a≤2,x∈R),g(x)=e-x,φ(x)=f(x)•g(x).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求φ(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求g(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x=1及曲線g(x)所圍成的封閉圖形的面積;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使φ(x)的極大值為3?若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:(1)當(dāng)a=1時(shí),φ(x)=(x
2+x+1)e
-x.φ′(x)=e
-x(-x
2+x)
當(dāng)φ′(x)>0時(shí),0<x<1;當(dāng)φ′(x)<0時(shí),x>1或x<0
∴φ(x)單調(diào)減區(qū)間,(-∞,0),(1,+∞),單調(diào)增區(qū)間為:(0,1)
(2)k=g'(0)=-e
-x|
x-0=-1,切線方程為:y=-x+1
所圍成的封閉圖形的面積為S=∫
01[e
-x-(-x+1)]dx=∫
01(e
-x+x-1)dx=(-e
-x+
(3)φ′(x)=(2x+a)e
-x-e
-x(x
2+ax+a)=e
-x[-x
2+(2-a)x]
令φ′(x)=0,得x=0或x=2-a:
由表可知,φ(x)
極大=φ(2-a)=(4-a)e
a-2設(shè)μ(a)=(4-a)e
a-2,μ′(a)=(3-a)e
a-2>,
∴μ(a)在(-∞,2)上是增函數(shù),
∴μ(a)≤μ(2)=2<3,即(4-a)e
a-2≠3,
∴不存在實(shí)數(shù)a,使φ(x)極大值為3.(14分)
分析:(1)當(dāng)a=1時(shí),φ(x)=(x
2+x+1)e
-x.先對(duì)函數(shù)y=φ(x)進(jìn)行求導(dǎo),然后令導(dǎo)函數(shù)大于0(或小于0)求出x的范圍,
根據(jù)φ′(x)>0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間,φ′(x)<0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間,即可得到答案.
(2)先求出切線方程,只須求出其斜率即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線方程.最后利用定積分的幾何意義求面積即可;
(3)對(duì)于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使φ(x)的極大值為3,再利用導(dǎo)烽工具,求出φ(x)的極大值,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、定積分在求面積中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想.屬于中檔題.