設(shè)函數(shù)f（x）=（x _ 1）ex _ kx2（k∈R）.

(Ⅰ)當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)k∈（1/2,1]時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0,k]上的最大值M.

 

【答案】

(Ⅰ)函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.

(Ⅱ)函數(shù)在上的最大值.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),

,

令,得,

當(dāng)變化時(shí), 的變化如下表:

極大值

極小值

 由表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.     6分

(Ⅱ) ,

令,得,,

令,則,所以在上遞增,

所以,從而,所以

所以當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；

所以

令,則,

令,則

所以在上遞減,而

所以存在使得,且當(dāng)時(shí), ,

當(dāng)時(shí), ,

所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081913213810759878/SYS201308191324349624644715_DA.files/image049.png">,,

所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“=”.

綜上,函數(shù)在上的最大值.     14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題較為典型，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本問(wèn)題。曲線切線的斜率等于在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值。研究函數(shù)的最值遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，研究單調(diào)性，確定極值，計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，比較大小”。本題中函數(shù)f（x）在[0,k]上的最大值M.是關(guān)于k的函數(shù)，處理問(wèn)題過(guò)程中對(duì)k存在的討論易出錯(cuò)。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個(gè)不同的根．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

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設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)m和t的值．

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（1）求f（x）的極值；
（2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)m和t的值．

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