Question

設(shè)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，若當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)原不等式化簡(jiǎn)為f（cos²θ+2msinθ）＞f（2m+2），再借助于函數(shù)的單調(diào)性可得：cos²θ+2msinθ＜2m+2，進(jìn)而利用換元法并且借助于恒成立問(wèn)題的解決方法得到答案．

解答：解：由條件可得：f（cos²θ+2msinθ）＞-f（-2m-2）
由于y=f（x）是奇函數(shù)，故有f（-2m-2）=-f（2m+2）（2分）
即f（cos²θ+2msinθ）＞f（2m+2）
又由于y=f（x）是減函數(shù)，等價(jià)于cos²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．（4分）
設(shè)t=sinθ∈[0，1]，等價(jià)于t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．（6分）
只要g（t）=t²-2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．（8分）
（1）當(dāng)m＜0時(shí)，最小值為g（0）=2m+1＞0，所以可得：0＞m＞-

1

2

（2）當(dāng)0≤m≤1時(shí)，最小值為g（m）=-m²+2m+1＞0，所以可得：0≤m≤1
（3）當(dāng)m＞1時(shí)，最小值為g（1）=2＞0恒成立，得：m＞1，（13分）
綜之：m＞-

1

2

為所求的范圍．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象不等式問(wèn)題，特別要注意體會(huì)由抽象不等式向三角不等式轉(zhuǎn)化的過(guò)程當(dāng)中單調(diào)性起到了重要的作用．同時(shí)本題充分挖掘了二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，為求解參數(shù)的范圍提供了方便．