已知兩點M（-1，0）、N（1，0），動點P（x，y）滿足|
MN
|•|
NP
|-
MN
•
MP
=0，
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）假設P1、P2是軌跡C上的兩個不同點，F(xiàn)（1，0），λ∈R，
FP1
=λ
FP2
，求證：
1
|FP1|
+
1
|FP2|
=1．
解 （1）|
MN
|=2；則
MP
=(x+1，y)，
NP
=(x-1，y)
由|
MN
|•|
NP
|-
MN
•
MP
=0，則2
(x-1)2+y2
-2(x+1)=0，
化簡整理得y2=4x
（2）由
FP1
=λ•
FP2
，得F、P1、P2三點共線，
設P1（x1，y1）、P2（x2，y2），直線P1P2的方程為：y=k（x-1）
代入y2=4x得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0則x1•x2=1，x1+x2=
2k2+4
k2

∴
1
|FP1|
+
1
|FP2|
=
1
x1+1
+
1
x2+1
=
x1+x2+2
x1x2+(x1+x2)+1
=1
當P1P2垂直x軸時，結論照樣成立．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線的頂點在原點O，焦點為橢圓
x2
3
+
y2
2
=1的右焦點F．
（1）求拋物線的方程；
（2）設點P在拋物線上運動，求P到直線y=x+3的距離的最小值，并求此時點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

過雙曲線
x2
3
-
y2
6
=1的右焦點F，傾斜角為30°的直線交此雙曲線于A，B兩點，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F1（-1，0），且點P（0，1）在C1上．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y2=8x的焦點為F．橢圓Σ的中心在坐標原點，離心率e=
1
2
，并以F為一個焦點．
（1）求橢圓Σ的標準方程；
（2）設A1A2是橢圓Σ的長軸（A1在A2的左側(cè)），P是拋物線C在第一象限的一點，過P作拋物線C的切線，若切線經(jīng)過A1，求證：tan∠A1PA2=
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦點，Q是雙曲線上動點，從左焦點引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，則P點的軌跡是（　　）的一部分．
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的兩焦點為F1（-1，0）、F2（1，0），P為橢圓上一點，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若點P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓的中心在原點，其左焦點F1與拋物線y2=-4x的焦點重合，過F1的直線l與橢圓交于A，B兩點，與拋物線交于C，D兩點．當直線l與x軸垂直時，
|CD|
|AB|
=2
2
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求過點O，F(xiàn)1，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；
（Ⅲ）求
F2A
•
F2B
的最值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設拋物線y2=4x被直線y=2x+b所截得的弦長為3
5
，則b=______．

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