Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）  若函數y=f（x）的圖象在點（1，2）處的切線的斜率等于1，求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，則函數y=f（x）的圖象上的任意一點的切線的斜率為k，試討論|k|≤1成立的充要條件．
（Ⅲ）若函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于1，求證：-

3

＜a＜

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）  求函數的導數，利用導數的幾何意義，建立方程關系求a，b即可．
（Ⅱ）求函數的導數，利用切線斜率k的取值，討論|k|≤1成立的充要條件．
（Ⅲ）根據導數的幾何意義證明不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²+b，
∴f'（x）=-3x²+2ax．
∵函數y=f（x）的圖象在點（1，2）處的切線的斜率等于1
∴f（1）=2，f'（1）=1，
即a+b-1=2且2a-3=1，
解得a=2，b=1，
∴f（x）=-x³+2x²+1．
（Ⅱ）當x∈[0，1]時，k=f'（x）=-3x²+2ax，
要使|k|≤1成立，
即|-3x²+2ax|≤1成立，
∴-1≤-3x²+2ax≤1成立．
當x=0時，|0|≤1恒成立．
當x∈（0，1]，不等式等價為3x²-1≤2ax≤3x²+1，
即

3x2-1

2x

≤a≤

3x2+1

2x

成立．
即(

3x2-1

2x

)max≤a≤(

3x2+1

2x

)min，
即1≤a≤

3

成立．
（Ⅲ）證：設函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點為P₂（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且x₁≠x₂，
則

y1-y2

x1-x2

＜1，
即有 

- x 3 1 +a x 2 1 + x 3 2 -a x 2 2

x1-x2

＜1，
?-

x

2 1

-x1x2-

x

2 2

+a(x1+x2)＜1，
?-

x

2 1

+(a-x2)x1-

x

2 2

+ax2-1＜0，
∵x₁∈R，
∴△=(a-x2)2+4(-

x

2 2

+ax2-1)x1＜0，
即 -3

x

2 2

+2ax2+a2-4＜0，
-3(x2-

a

3

)2+

4

3

(a2-3)＜0．
于是必有a²-3＜0，
故-

3

＜a＜

3

成立．

點評：本題主要考查導數研究函數的性質，考查學生運算能力，綜合性較強，運算量較大．