Question

設點A，B分別在直線3x-y+5=0和3x-y-13=0上運動，線段AB的中點M恒在圓x²+y²=8內，則點M的橫坐標的取值范圍為（　�。�

• A、（

  2

  5

  ，2）
• B、（-2，-

  2

  5

  ）
• C、（2，

  14

  5

  ）
• D、（-

  14

  5

  ，-2）

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由題意可得得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0，設M（x₀，y₀），則由中點的坐標公式可得3x₀-y₀-4=0，又點M在圓內，結合點與圓的位置關系即可求出點M的橫坐標的取值范圍．

解答： 解：設A，B兩點的坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點A，B分別在直線3x-y+5=0和3x-y-13=0上運動，
∴3x₁-y₁-5=0，①，3x₂-y₂-13=0，②
兩式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0．
設線段AB的中點M（x₀，y₀），則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
∴3x₀-y₀-4=0，即y₀=3x₀-4．③
又∵點M恒在圓x²+y²=8內，∴x02+y02＜8，
再把③代入此式可得，∴x02+(3x0-4)2＜8，解得

2

5

＜x₀＜2，
故選：A．

點評：本題考查點與圓的位置關系，中點的坐標公式以及直線與圓位置關系等知識的綜合應用，屬于基礎題．