Question

斜率為1的直線與橢圓

x2

4

+y²=1，相交于A、B兩點，求線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點P（x₀，y₀）．設(shè)直線AB的方程為y=x+m．與橢圓方程聯(lián)立化為5x²+8mx+4m²-4=0．由△＞0解得-

5

＜m＜

5

．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中檔坐標(biāo)公式可得x0=

x1+x2

2

=-

4m

5

，
y₀=x₀+m=

m

5

．線段AB的垂直平分線的方程為：y-

m

5

=-(x+

4m

5

)，令y=0，則x=-

3m

5

，即可得出．

解答： 解：設(shè)直線AB的方程為y=x+m．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點P（x₀，y₀）．
聯(lián)立

y=x+m x2+4y2=4

，化為5x²+8mx+4m²-4=0．
△＞0化為m²＜5，解得-

5

＜m＜

5

．
∴x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-4

5

．
∴x0=

x1+x2

2

=-

4m

5

，y₀=x₀+m=

m

5

．
線段AB的垂直平分線的方程為：y-

m

5

=-(x+

4m

5

)，
化為y=-x-

3m

5

．
令y=0，則x=-

3m

5

，
∵-

5

＜m＜

5

．
∴-

3 5

5

＜-

3m

5

＜

3 5

5

．
∴線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍是(-

3 5

5

，

3 5

5

)．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式、線段垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．