Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，為的中點．

（1）證明：平面；

（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】解：

（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以OP⊥AC，且OP=．

連結OB．因為AB=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．

由知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．

故CH的長為點C到平面POM的距離．

由題設可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．

所以OM=，CH==．

所以點C到平面POM的距離為．

【解析】分析：（1）連接，欲證平面，只需證明即可；（2）過點作，垂足為，只需論證的長即為所求，再利用平面幾何知識求解即可.

詳解：（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以OP⊥AC，且OP=．

連結OB．因為AB=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．

由知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．

故CH的長為點C到平面POM的距離．

由題設可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．

所以OM=，CH==．

所以點C到平面POM的距離為．